多変数関数の微分

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偏微分

偏導関数の関係

f_{x_i x_j}(\bm{x})およびf_{x_j x_i}(\bm{x})が\bm{c}において連続⇒f_{x_i x_j}(\bm{c})=f_{x_j x_i}(\bm{c})
（詳細は［杉浦：解析入門１］定理II.3.2, p.109）
証明に用いる定理：
　平均値の定理（［杉浦：解析入門１］定理II.2.3, p.93）
⇐ロールの定理（定理II.2.2, p.93）
⇐定理I.7.2（p.67）
　定理I.7.3（p.68）
⇐ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理：「有界実数列は常に収束する部分列を持つ」（定理I.3.4, p.24）
⇐アルキメデスの原理（定理I.3.2, p.19）⇐定理I.3.1（p.17）⇐連続公理（R17, p.7）、命題I.1.3（p.6）
　定理I.2.5(2)（p.14）⇐命題I.2.4（p.13）
　区間縮小法（定理I.3.3, p.20）⇐定理I.3.1（p.17）、定理I.2.6（p.15）
　はさみ打ちの原理（定理I.2.7, p.16）
C^k級の関数⇒k階までのすべての偏導関数は偏微分の順序によらない
（上記の定理の一般化、［杉浦：解析入門１］定理II.3.3, p.111）
証明は上記の定理と帰納法

全微分

全微分可能⇒連続
（詳細は［杉浦：解析入門１］定理II(5.5), p.120）
全微分可能⇒偏微分可能、全微分の各成分は偏微分係数に等しい
（［杉浦：解析入門１］定理II.5.2, p.121）
C^1級の関数⇒全微分可能
（［杉浦：解析入門１］定理II.5.3, p.123）
証明に用いる定理：
　平均値の定理（［杉浦：解析入門１］定理II.2.3, p.93）、シュワルツの不等式（命題I.4.3, p.36）

合成関数の微分法

fがx \in Uで微分可能、gがy=f(x)で微分可能
⇒\psi=g \circ fはxで微分可能、連鎖率が成立
（［杉浦：解析入門１］定理II.6.6, p.131）
証明に用いる定理：
　命題II.6.1（［杉浦：解析入門１］p.128）
　命題II.6.5（p.130）⇐シュワルツの不等式（命題I.4.3, p.36）
　定理II.6.2(2)（p.129）⇐定理II.5.2（p.121）
　　　　　　　　　　　　　　定理I.6.8（p.59）⇐定理I.6.6（p.57）⇐命題I.6.4(2)（p.55）、定理I.6.2（p.53）、定理I.2.6（p.15）

多変数のテイラーの定理

C^k級の実数値関数、x,x+hを結ぶ線分が定義域に含まれる
⇒\exists \theta \in (0,1), f(x+h)=f(x)+\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m!}(d^m f)_x (h) + \frac{1}{k!} (d^k f)_{x+\theta h}(h)
（［杉浦：解析入門１］定理II.7.2, p.147）
証明に用いる定理：
　命題II.7.1（p.146）⇐定理II.3.3（p.111、上述）
　1変数のテイラーの定理（定理II.2.10, p.99）⇐コーシーの平均値定理（定理II.2.9, p.99）⇐ロールの定理（定理II.2.2, p.93、上述）
　

多変数関数の極値

f(x)がaで微分可能かつ極値
⇒\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0, f^{\prime}(a)=0, (df)_a=0, \text{grad} f(a)=0
（［杉浦：解析入門１］定理II.8.1, p.149）
証明に用いる定理：
　１変数の場合の定理（定理II.2.1, p.92）⇐定理I.6.6(4)（p.58）⇐定理I.6.2（p.53）、定理I.2.6（p.15）
f^{\prime}(a)=0かつ、
  • D_k(a)>0 (0\geq k \geq n)⇒aは狭義極小点
  • (-1)^k D_k (a) >0⇒狭義極大点
  • D_n(a)\neq 0かつ上記以外⇒極値ではない
ただし、D_k(x)=\begin{vmatrix}
     f_{x_1,x_1}(x) & \cdots & f_{x_1,x_k}(x)\\ 
      & \cdots & \\
     f_{x_k,x_1}(x) & \cdots & f_{x_k,x_k}(x) 
\end{vmatrix}
（［杉浦：解析入門１］定理II.8.4系, p.159）
証明に用いる定理：
　定理II.8.4（p.158）⇐テイラーの定理（定理II.7.2, p.147、上述）、定理II.8.3（p.156）、命題II.7.1（p.146、上述）
　定理II.8.3、II.8.3系（p.156,157）⇐定理II.8.2（p.154）
　定理II.8.2（p.154）

陰関数定理

fはn+1変数関数かつC^k級、f(a,b)=0, f_y(a,b)\neq 0
⇒f(x,y)=0のC^k級陰関数y=g(x)が一意に存在、g^{\prime}(x)=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}
（［杉浦：解析入門2］定理VI.1.1, p.4）
証明に用いる定理：
　中間値の定理（定理I.8.1, p.74）⇐区間縮小法（定理I.3.3, p.20、上述）
　ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理（定理I.3.4, p.24、上述）
　ロールの定理（定理II.2.2, p.93、上述）
　定理II.5.3（p.123）⇐平均値の定理（定理II.2.3, p.93、上述）、シュワルツの不等式（命題I.4.3, p.36、上述）
　定理II.5.2（p.121）

参考文献

  • 杉浦光夫，『解析入門I』，東京大学出版会
  • 杉浦光夫，『解析入門II』，東京大学出版会
  • 藤岡敦，『手を動かして学ぶ　微分積分』，裳華房